Question

设A,B为n阶方阵，证明：如果A*B=0 则R(A)+R(B)<=n

设A,B为n阶方阵，证明：如果A*B=0 则R(A)+R(B)<=n

哎，不会。。貌似应该很简单吧？！谁来帮帮我

Answer 1

设I为单位矩阵

情形一： A=0时，R(A)=0,所以R(A)+R(B)=R(B)=R(IB)<=R(I)=n 结论成立

情形二： A不=0时

因为AB=0，所以B的列向量组b1,b2,…bn是方程组AX=0的解
设解空间为W，则dimW=n-R(A)

(1)R(A)=n时，dimW=0,进而W=0，故b1,b2,…bn均为0，所以B=0，R(B)=0
此时，R(A)+R(B)=n<=n 结论成立
(2)R(A)<n时，设W的基础解系是c1,c2…cr,其中r=n-R(A),
则b1,b2,…bm可被c1,c2…cr线性表出
所以R(B)=R{b1,b2,…bn}<=R{c1,c2…cr}=n-R(A)
整理后就是R(A)+R(B)<=n

所有情况都讨论完毕，结论成立！