Question

如图,以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连DF,取DF

中点P,作PH垂直于BC.求证:PH=(1/2)BC
如图

Answer 1

证明：

作FX⊥BC，DY⊥BC，AQ⊥BC

因为PH⊥BC

所以∠AQB＝∠BYD＝90°，FX//PH//DY

所以∠BDY＋∠DBY＝90°

因为四边形ABDE是正方形

所以∠ABD＝90°，AB＝BD

所以∠ABQ＋∠DBY＝90°

所以∠BDY＝∠ABQ

所以△ABQ≌△BDY（AAS）

所以AQ＝BY，BQ＝DY

同理可证：AQ＝CX，CQ＝FX

所以FX＋DY＝BQ＋CQ＝BC，BY＝CX

因为P是DF的中点，FX//PH//DY

所以H是XY的中点

所以PH是梯形DFXY的中位线

所以PH＝(FX＋DY)/2＝BC/2

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