Question

高一数学题一道

已知圆O的半径为R，若他的内接三角形ABC中，等式2R(sinA平方-sinC平方）=（a*根号2-b)sinB成立，则
（1）求角C（2）求三角形ABC的面积最大值

Answer 1

解：
(1)
根据正弦定理
由2R[(sinA)²-(sinC)²]=(√2*a- b)*sinB
得到:
a²-c²=√2ab-b²
根据余弦定理
cosC=(a²+b²-c²)/2ab=√2/2
故:
角C=45度
所以:
S=(1/2)absinC=2R²sinAsinBsinC
=√2R²sinAsinB
(2)
根据两角正弦积化和的公式
S=√2R²sinAsinB
=(√2R²/2)[cos(A-B)-cos(A+B)]
=(√2R²/2)[cos(A-B)+cosC]
=(√2R²/2)[cos(A-B)+√2/2]
≤(√2R²/2)[1+√2/2]=[(√2+1)R²]/2
所以当A=B的时候
三角形ABC的面积的最大值是
[(√2+1)R²]/2

Answer 2

(1)sinA=a/(2R)
sinC=c/(2R)
sinB=b/(2R)
2R(sinA^2-sinC^2)=(a√2-b)b/(2R)
a^2-c^2=ab√2-b^2
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=√2/2
C=45°
(2)S=1/2absinC=√2ab/4
=√2/4*(2R*sinA)*(2R*sinB)
=√2R^2sinA*sinB
=√2/2R^2[cos(A-B)-cos(A+B)]
当A=B=67.5°时，S有最大值√2/2R^2sin67.5°^2=0.6R^2