Question

如和求证(1/n+1)*(1+1/3+1/5+…+1/2n-1)>(1/n)*(1/2+1/4+…1/2n)

如和求证(1/n+1)*(1+1/3+1/5+…+1/2n-1)>(1/n)*(1/2+1/4+…1/2n)

Answer 1

证明：
当k=1时
1/2+1/3+1/4=13/12=26/24>25/24
结论成立。
假设k=n时结论成立，即
1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(3n+1)>25/24
当k=n+1时
由于
9(n+1)^2=9n^2+18n+9>9n^2+18n+8=(3n+2)(3n+4)
即
9(n+1)^2/[(3n+2)(3n+4)]-1>0
左侧为
1/[(n+1)+1]+1/[(n+1)+2]+1/[(n+1)+3]+...+1/[3(n+1)+1]
=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(3n+1)+{1/(3n+2)+1/(3n+3)+1/(3n+4)-1/(n+1)}
=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(3n+1)+{6(n+1)/[(3n+2)(3n+4)]-2/(3n+3)}
=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(3n+1)+2/(3n+3)*{9(n+1)^2/[(3n+2)(3n+4)]-1}
>1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(3n+1)>25/24。
结论成立。

Answer 2

原不等式等价于：
n[1+1/3+1/5+…+1/(2n-1)]>=(n+1)(1/2+1/4+…+1/2n)……①
①式左边
=n[(1+1/2+1/3+...+1/2n)-(1/2+1/4+...+1/2n)]
=n(1+1/2+1/3+...+1/2n)-n(1/2+1/4+...+1/2n)
原不等式等价于：
n(1+1/2+1/3+...+1/2n)>=(2n+1)(1/2+1/4+...+1/2n)……②
②式右边=(n+1/2)(1+1/2+...+1/n)=n(1+1/2+...+1/n)+(1/2)(1+1/2+...+1/n)
原不等式等价于：
n[1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n]>=(1/2)(1+1/2+...+1/n)……③
∵③式左边的任意一项n/(n+k)>=n/(n+n)=n/2n=1/2【其中1<=k<=n】
③式右边的任意一项(1/2)(1/k)<=1/2【其中1<=k<=n】
综上所述：③式左边>=(1/2)n>=③式右边
∴③式是成立的

Answer 3

原不等式等价于：
n[1+1/3+1/5+…+1/(2n-1)]>=(n+1)(1/2+1/4+…+1/2n)……①
①式左边
=n[(1+1/2+1/3+...+1/2n)-(1/2+1/4+...+1/2n)]
=n(1+1/2+1/3+...+1/2n)-n(1/2+1/4+...+1/2n)
原不等式等价于：
n(1+1/2+1/3+...+1/2n)>=(2n+1)(1/2+1/4+...+1/2n)……②
②式右边=(n+1/2)(1+1/2+...+1/n)=n(1+1/2+...+1/n)+(1/2)(1+1/2+...+1/n)
原不等式等价于：
n[1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n]>=(1/2)(1+1/2+...+1/n)……③
∵③式左边的任意一项n/(n+k)>=n/(n+n)=n/2n=1/2【其中1<=k<=n】
③式右边的任意一项(1/2)(1/k)<=1/2【其中1<=k<=n】
综上所述：③式左边>=(1/2)n>=③式右边
∴③式是成立的
∴原不等式成立，当且仅当n=1时等号成立。

Answer 4

2L正解！

Answer 5

第一题
可用放缩法
(1/n+1)>1/n且>0
(1+1/3+1/5+…+1/2n-1)>(1/n)*(1/2+1/4+…1/2n)
(
因为1/(2n-1)>1/2n
(n>=1)
)
第二题
你题目搞错了应是小于号
1/1^2+1/2^2+1/3^2+…1/n^2<7/4
方便解说不妨令An=1/1^2+1/2^2+...+1/n^2.
因为.
1/n^2<1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n.
所以.
An＝1/1^2+1/2^2+...+1/n^2<1+1/4+1/2-1/3+1/3-1/4...+1/(n-1)-1/n=1+1/4+1/2-1/n=7/4-1/n<7/4
(就是保留第一,第二项后,先放缩,后裂项,再求和.