Question

求齐次线性方程组的解，要具体过程

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它是怎么解出两个来的？随便行初等变换就变成了
-1 1 2
0 0 0
0 0 0

怎么才能得到那两个基础解系？求详细过程。
我的问题是从 -1 1 2 怎么弄出那两个基础解系来？
按 -1 1 2，那应该是前两个相反，第三个是前两个的2倍才对啊
对角线上的-1是根据哪个系数来的？

Answer 1

设解向量为X(x1,x2,x3)
初等变换之后[-1,1,2]
因为X是3维向量，X的方程组系数矩阵的秩为1，所以基础解系含解个数为3-1=2。
同解方程组是-x1+x2+2*x3=0
通解为
x1=1*k1+2*k2
x2=1*k1+
x3= 1*k2
（k1,k2是任意常数）

于是基础解系就是N1=(1,1,0)T；N2=(2,0,1)T【其实就是k1和k2的系数矩阵。】

你在纸上整齐一点写下来就更清楚了

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【按 -1 1 2，那应该是前两个相反，第三个是前两个的2倍才对啊】
你理解错(-1 1 2)这个向量的意义了

用矩阵的方式写出这个方程组是这样的
[-1 1 2]
[1 -1 -2] [x1 x2 x3]T=0
[1 -1 -2]

初等变换之后
[-1 1 2]
[0 0 0] [x1 x2 x3]T=0
[0 0 0]

把[x1 x2 x3]乘进系数矩阵，有意义的方程就剩下
-x1+x2+2*x3=0

就是x1=x2+2*x3，“第一个的系数”应该是“第二个的系数”加上“第三个的系数”*2

只要把[x1 x2 x3]的关系表示出来就是求得通解了

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用Gauss-Jordan消去法的时候【对角线上的-1】
是当消去成下面形式【矩阵的左上半个矩阵是单位矩阵，矩阵的下面若干行全为0】
1 0 a b
0 1 c d
0 0 0 0
0 0 0 0
的时候添在【全为零的行且在整个矩阵的对角线】上
1 0 a b
0 1 c d
0 0 -1 0
0 0 0 -1

于是基础解系可以从-1所在的列读出。就是N1=(a,c,-1)T，N2=(b,d,-1)T
因为对基础解系作线性变换所得的向量仍然为基础解系
所以N1=(-a,-c,1)T，N2=(-b,-d,1)T也是基础解系

Answer 2

将系数矩阵加上=右边的列向量(增广矩阵)先行变换变成上三角，再列变换使从左上角数起对角线上不为零的方阵对角化(高斯-约当消去法)：
把第一行分别加到第二和第三行，得到矩阵
-1 1 2 0
0 0 0 0
0 0 0 0
然后第一行乘以-1，变成（对角线上变成1，对角线以下变为零）
1 -1 -2 0
0 0 0 0
0 0 0 0
从左上角看起对角线上的0变成-1
矩阵变为
1 -1 -2 0
0 -1 0 0
0 0 -1 0
变为-1的那两列就是两个基础解系
N1=(-1,-1,0)T；N2=(-2,0,-1)T
和N1=(1,1,0)T；N2=(2,0,1)T等价
一个特解是最后一列(0 0 0)T