Question

【高一数学】几何题目》》》》

如图，正方形ABCD的边长为1，P,Q分别为边AB,DA上的点。当三角形APQ的周长为2时，求角PCQ的大小。

写出过程和答案，谢谢。

Answer 1

设AP=y,AQ=x,则PQ=2-x-y，在三角形APQ 中。由勾股PQ=根号x平方+y平方，

tan角DCQ=(1-x)/1,,tan角BCP=（1-y）/1,

题中求的是 PCQ，我们可以先求它的余角的最后在用90 一减就可以了。所以tan(角DCQ+角BCP)=（2-x-y)/x+y+xy,
PQ=2-x-y=根号x平方+y平方，
（采用两边平方，去解用x,y表示xy的式子，为xy=2x+2y-2,带入原式中，等于1，所以角度为45度

Answer 2

你可以应用特殊值法，也是做这道题最快的方法，即取AP=AQ这种情况时的解。因为有AP:AQ:QP=1:1:根号2，根据周长可以求出APQ每一边的长度，然后用AB-AP=PB求得PB长度，进而得出角PBC的值。利用角PCQ=90度-2x角PCB，可以求出为45度。

Answer 3

建立指教坐标系A-xy(x轴为AB,y轴为AD)
则Q点坐标记为(0,m)
P点坐标记为(n,0)
其中0=<m<=1,0=<n<=1
C点为(1,1)
则向量CQ=(1,m-1)
PQ=(-n,m)
PC=(1-n,1)
则|PC|+|CQ|+|PQ|=2
|PC|^2+|CQ|^2+2|PC||CQ|=(2-|PQ|)^2
这个式子平方,凑余弦定理
即根号(1^2+(1-n)^2)+根号(1^2+(m-1)^2)+根号(m^2+n^2)=2
这个你纸上写就行了
这个上面麻烦

Answer 4

因为AQ+PQ+AP＝2，AD+AB＝AQ+DQ+AP+PB＝2,所以PQ＝DQ+PB
延长QD到E，使DE＝PB，则EQ＝DE+DQ＝PB+DQ＝PQ
而易证明直角三角形EDC和CPB全等（CD＝CB，PB＝DE，直角）
故角ECD＝角BCP，且CE＝CP，从而角ECP＝角ECD+角PCD＝角BCP+角PCD＝90度。
并且有：三角形CEQ与三角形CPQ三边对应相等，于是它们全等。
故角PCQ＝角ECQ＝1/2角PCE＝1/2*90度＝45度