Question

设a>0,b>0,求证(a^2/b)^1/2+(b^2/a)^1/2≥a^1/2+b^1/2

Answer 1

先作代换，x=根号a，y=根号b.则原不等式化为：
x^2/y+y^2/x>=x+y-------(1)
左边＝(x^3+y^3)/(xy)
=(x+y)(x^2-xy+y^2)/(xy)
因为(x-y)>=0,即xy<=(x^2+y^2)/2-----(2)
所以-xy>=-(x^2+y^2)/2
左边>=(x+y)(x^2+y^2)/(2xy)(由(2)式知：x^2+y^2>=2xy）
>=x+y

(1)式得证，原不等式成立。