Question

O为三角形ABC所在的平面内一点，且满足向量OA+2向量OB+3向量OC=0，

O为三角形ABC所在的平面内一点，且满足向量OA+2向量OB+3向量OC=0，则三角形AOC与三角形BOC的面积之比为2 :1,这是为什么？

Answer 1

解：延长OB至B',使OB'=2OB;延长OC至C',使OC'=3OC;
连结B'C',取B'C'中点D,连结OD并延长至A',使DA'=OD;
连结B'A',C'A',则四边形OB'A'C'为平行四边形
∴2向量OB+3向量OC=向量OB'+向量OC'=向量OA'
又∵向量OA+2向量OB+3向量OC=0
即向量OA+向量OA'=0, ∴向量AO=向量OA’
所以A,O,A'三点共线，且|AO|=|OA'|
利用同底等高三角形面积相等得:
S△AOC=S△A'OC=S△OCB'=2S△BOC===>S△AOC/S△BOC=2/1

Answer 2

取ac中点d,bc中点e
有向量oa+向量oc=2向量od
向量ob+向量oc=2向量oe
向量oa+2向量ob+3向量oc
=2向量od+4向量oe=0
故有向量od+2向量oe=0,o为de上的靠近e的三等分点.
记s△abc=1,有
s△aec=1/2,s△ade=s△ced=1/4
s△cod=1/6,s△coe=1/12,s△boe=s△coe=1/12
s△aoc=2s△cod=1/3,s△aob=1-s△boc-s△aoc=1/2
故s△aob/s△aoc=3:2