Question

数学难题 高手来！

PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，连接AE，AF与直线PC相交于B，D。求证；AB=DC BC=AD
最好有图 高手来

Answer 1

1：没想出特别好的办法，但因为PC⊥AC
因此可以以C为原点建立如图所示的坐标系
假设园O的半径为1，它的方程是(x-1)^2+y^2=1
点P的坐标为(0,p)
直线PEF的方程是y=kx+p
直线PBOD的方程是y=-p(x-1)

所以只要证明O点是BD的中点即可，这样因为ABCD的对角线相互平分，立即可得四边形ABCD是平行四边形

证明过程如下：
设E(x1,y1),F(x2,y2)
E、F显然满足方程组：
(x-1)^2+y^2=1
y=kx+p
由此得：
x1+x2=2(pk-1)/(1+k^2)
x1x2=(p^2)/(1+k^2)
而B(x3,y3)是AE与直线y=-p(x-1)的交点
所以有：
(x1-x3)/(y1-y3)=(x3-2)/(y3-0)
而y3=-p(x3-1),y1=kx1+p
代入方程解得：
x3=-(2k+p)x1/(p-(p+k)x1)
同理可求得D(x4,y4)的坐标，只要将下标1,3换成2,4即可
x4=-(2k+p)x2/(p-(p+k)x2)

所以经计算可知：
(x3+x4)/2=1

(y3+y4)/2=-p(((x3+x4)/2)-1)=0

因此B(x3,y3)与D(x4,y4)的中点即为点O
命题得证

2：如图PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的弦AE，AF与直线PO相交于B，D。求证AB=DC,BC=AD

分析：
这题确实比较难！要证AB=DC，BC=AD，实际上只要证明四边形ABCD为平行四边形，只需证明OB=OD。而过B，O，D的三直线会于一点A，因此可以添加平行线型相似三角形的组合图形进行证明！即过E作EK//BD交OC于M，交AF于K，证ME=MK，从而得OB=OD！
这里还要用到切割线的另一个性质：圆心，圆外一点，切点，割线上弦的中点这四点共圆的性质！

证明：（证明OB=OD）
过E作EK//BD分别交OC，AF于M，K，取EF的中点H，连结OH，MH，CE。
∵∠PHO=∠PCO=90°，
∴P，C，H，O四点共圆，
∴∠HCM（O）=∠HPO=∠MEH，
∴M，E，C，H四点共圆，
∴∠MHE=∠M（A）CE=∠（A）KFE，
∴MH//KF，∵HE=HF，∴ME=MK，
∵OB/ME=OD/MK=AO/AM，
∴OB=OD。（下略）

Answer 2

这道题不对的，三角形ACB和ACD都是直角三角形，斜边分别为AB和AD，所以AB>BC，AD>CD，若BC=AD，则AB>CD，互相有矛盾

Answer 3

1.
设树干的周长为X
2*2X+2=3X+3*1.5
X=2.5

Answer 4

1.
设数直径为d，绳长为l，则
2πd+1=l/2
πd+1.5=l/3
解得d=2.5/π=5/2π
2.
1/20+1/30+1/42+……+1/132
=1/(4*5)+1/(5*6)+1/(6*7)+...+1/(11*12)
=1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+...+1/11-1/12
=1/4-1/12
=1/6

Answer 5

1.
树干的周长
X
4X+2=3X+1.5*3
X=2.5
M
1/20+1/30+1/42+……+1/132
=1/4-1/5+1/5-1/6...-1/12
=1/4-1/12
=1/6

Answer 6

1.（1.5-1/2)÷（1/3-1/4）=12
（12÷2-1）÷2=2.5
2.
1/20+1/30+1/42+……+1/132
=1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+....+1/10-1/11+1/11-1/12
=1/4-1/12
=1/6