Question

线性代数中关于矩阵秩的问题，R(A，B)与R(AB)的区别，请举例说明！

Answer 1

一、计算方法不同

1、R(AB)：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

2、R(A,B)：当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。

二、计算结果不同

1、R(AB)：r(kA)=r(A)，k不等于0。

2、R(A,B)：r(A)<=min(m,n)，A是m*n型矩阵

扩展资料：

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零。）

参考资料来源：百度百科-线性代数

参考资料来源：百度百科-矩阵的秩

Answer 2

1楼说法是错误的，
矩阵秩和是不是方阵无关，如果谈及行列式，才必须是方阵，
r(A，B)是A，B的增广矩阵，必须具有相同的维数
常用在解线性方程组中，例如
A=
1 2 3
4 5 6

B=
1 4 7 4
3 5 8 10

（A,B)=
1 2 3 1 4 7 4
4 5 6 3 5 8 10

R(A，B)就是求上面矩阵的秩

与R(AB)有本质的区别
AB就是两个向量相称，要求前一个向量的列数=后一个向量的维数
即
设A为m行*3列形式
那B必须是3行*n列的形式
然后计算他们的乘积后，求秩

Answer 3

首先A只有是个方阵，R(A，B)与R(AB)才有意义。
R(A，B)是矩阵(A，B)的秩
R(AB)是矩阵AB的秩
根本就是两个不同矩阵的秩，基本没有任何关联。