Question

关于导数的一道证明题

已知函数f(x)在闭区间0到正无穷上连续，且f(0)=0，f'(x)在闭区间0到正无穷上存在且单调递增,令g(x)=f(x)/x (x>0)。 证明在开区间0到正无穷内，g(x)是单调递增的。

Answer 1

g(x)'={xf'(x)-f(x)}/x2
因为f(0)=0且f'(x)在零到正无穷单调递增
所以f’(x)大于0
xf'(x)大于f(x)
所以g'(x)大于0 所以是单调递增

Answer 2

g'(x)=f'(x)*x-f(x) /x^2
x^2>0,要证g(x)是单调递增，即证f'(x)*x-f(x)>0
因为f'(x)在闭区间0到正无穷上存在且单调递增，所以f'(x)>f'(0)
f'(x)*x-f(x)>f'(0)*0-f(0)=-f(0)=0
所以g(x)单调递增

Answer 3

楼主这道题是少条件吗？
我个人意见~
F'(X)单调递增，且F'（0）=0
不代表F'(X)就一定大于0
因为即使当F'(X)的值有小于0的部分，F'(X)仍可以是单调递增的
F（0）也可以=0，只不过F（X）变成的先减后增的二次函数而已。

本人才疏学浅，只是说说自己的看法~~