Question

怎样来证明两矩阵和的秩不小于矩阵秩的和

rt
呵呵，是说反了，应该是不大于

Answer 1

证：A，B都是m*n的矩阵，则需证r(A+B)≤r(A)+r(B)
设A的列向量中α(i1),α(i2),...,α(ir)是其中一个极大线性无关组，β(j1),
β(j2),...,β(jt)是B的列向量的一个极大线性无关组。那么A的每一个列向量均可以由α(i1),α(i2),...,α(ir)线性表出，B的每一个列向量均可以用β(j1),
β(j2),...,β(jt)线性表出。于是A+B的每一个列向量α(k)+β(k)都能用α(i1),
α(i2),...,α(ir)，β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出。
因此A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于α(i1),α(i2),...,
α(ir)，β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量个数，即r(A+B)≤r+t=r(A)+r(B)

Answer 2

考察相抵变换
a
0
0
b
=>
a
0
a
b
=>
a
a
a
a+b
右下角子阵的秩当然不超过整个矩阵的秩，从而r(a+b)<=r(a)+r(b)。

Answer 3

怎么可能啊
反例：两个n阶单位矩阵和和秩还是n,肯定小于n+n阿

Answer 4

说反了吧？