Question

已知函数f(x)=x-2/x+1-alnx，a＞0

⑴讨论f(x)的单调性；
⑵设a=3，求f(x)在区间[1，e^2]上的值域。其中e=2.71828…是自然对数的底数。
f(x)=x-(2/x)+1-alnx

Answer 1

[x^(-1)]'=-x^(-2)
f'(x)=1+2/x^2-a/x=(x^2-ax+2)/x^2
定义域x>0
所以x^2>0
x^2-ax+2=(x-a/2)^2-a^2/4+2
若2-a^2/4>=0
-2√2<=a<=2√2,又a>0
即0<a<=2√2
则x^2-ax+2恒大于等于0
则f'(x)>=0
增函数

若a>2√2
x^2-ax+2=0
x=[a±√(a^2-8)]/2
则若x^2-ax+2>0,x>[a+√(a^2-8)]/2,x<[a-√(a^2-8)]/2
若x^2-ax+2<0,[a-√(a^2-8)]/2<x<[a+√(a^2-8)]/2
定义域x>0

综上
0<a<=2√2，f(x)是增函数

a>2√2,则x>[a+√(a^2-8)]/2,0<[a-√(a^2-8)]/2时是增函数，
[a-√(a^2-8)]/2<x<[a+√(a^2-8)]/2时是减函数

a=3
f'(x)=1+2/x^2-3/x=(x^2-3x+2)/x^2=0，x=1，x=2
则x>2时是增函数，
1<x<2是减函数
所以x=2最小=2-3ln2
x=1或e^2最大
f(e^2)=e^2-2/e^2-5最大
[2-3ln2,e^2-2/e^2-5]

Answer 2

x^(-1)]'=-x^(-2)
f'(x)=1+2/x^2-a/x=(x^2-ax+2)/x^2
定义域x>0
所以x^2>0
x^2-ax+2=(x-a/2)^2-a^2/4+2
若2-a^2/4>=0
-2√2<=a<=2√2,又a>0
即0<a<=2√2
则x^2-ax+2恒大于等于0
则f'(x)>=0
增函数

若a>2√2
x^2-ax+2=0
x=[a±√(a^2-8)]/2
则若x^2-ax+2>0,x>[a+√(a^2-8)]/2,x<[a-√(a^2-8)]/2
若x^2-ax+2<0,[a-√(a^2-8)]/2<x<[a+√(a^2-8)]/2
定义域x>0