Question

已知函数f(x)满足f(logax)=a(x-1/x)/(a^2-1)(a>0,a≠1）

已知函数f(x)满足f(logaX)=a(x-1/x)/(a^2-1)(a>0,a≠1）
（1）对于函数f(x),当x∈（-1，1）时，f(1-m)+f(1-m^2)<0,求实数m的取值范围
（2）当x∈（-∞，2）时，f(x)-4的值恒为负数，求实数a的取值范围

Answer 1

您是不是漏掉了几个问什么的。要不然，这道题，一般人都不知道往哪方面去想。
（1）。令logaX=t，x＞0，所以t∈R.则x=a^t,带入得f(t)=a*(a^t-a^-t)/(a^2-1),将t换成x，得到表达式f(x)=a*(a^x-a^-x)/(a^2-1),x∈R。
然后考察它的奇偶性，单调性。
令x=-x,带入得f(-x)=a*(a^-x-a^x)/(a^2-1),它恰好等于-f(x).所以是奇函数。
然后看单调性。求导，f`(x)=a/(a^2-1)*(a^x*㏑a+a^-x*lna)=a/(a^2-1)*lna*(a^x+a^-x),讨论当0＜a＜1,导数大于0，a＞1,还是大于0.所以函数是增函数。然后再来解第一问。
去掉f的办法是移向，利用奇偶性，单调性去掉符号。
首先注意定义域，这里是（-1，1），所以得有-1＜1-m＜1,且-1＜1-m^＜1.
然后移向，f(1-m)＜-f(1-m^2)=f(m^2-1).又因为是增函数，所以1-m＜m^2-1.解这三个关于m的范围，取交集，即得解：（如果没解错的话，应该是）0＜m＜1.
(2).f(x)-4＜0，在区间（-∞，2）上恒成立，即f(x)＜4恒成立。即f(x)的最大值小于4即可。f(x)增函数，令x=2带入方程，得a*(a^2-a^-2)/(a^2-1)＜4.(注意，其实这里的x=2是取不到的，但可以用到不等式中，只要注意这个边界值是否可以取到即可。若可以取到，则有时候会写成≤某个值的情况。要注意）解这个不等式……a^2-a^-2,通分，得(a^4-1)/a^2=(a^2-1)*(a^2+1)/a^2,与下面的式子约掉一个（a^2-1),最后整理得a^2-4a+1<0,解得-√3+2＜a＜√3+2,然后与a＞0且a≠1取交集，得（-√3+2，1）∪（1，√3+2）。

Answer 2

（1）令logaX=t，x＞0，
则x=a^t,
f(t)=a(a^t-a^-t)/(a^2-1),
f(x)=a(a^x-a^-x)/(a^2-1),
再令x=-x,
f(-x)=a(a^-x-a^x)/(a^2-1=-f(x).
所以f(x)是奇函数

f(x)求导=a/(a^2-1)(a^x㏑a+a^-xlna)
=a/(a^2-1)*lna*(a^x+a^-x),
当0＜a＜1,导数大于0，
当a＞1,导数大于0
所以，f(x）是增函数

-1＜1-m＜1,且-1＜1-m^2＜1.
f(1-m)＜-f(1-m^2)=f(m^2-1)
1-m＜m^2-1.
所以，0＜m＜1.

Answer 3

12