Question

数学曲线问题

从极点o作直线与另一直线ρCOSα=4相交与点M，在OM上取一点P，使OM*OP=12求点p的轨迹方程

Answer 1

1、设抛物线为y²＝2px，因为抛物线与双曲线的一个交点为（3/2，√6）
所以点（3/2，√6）在抛物线上
解得p=2
所以y²＝4x
准线方程为x=-1
因为准线经过双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1的左焦点
F（-1，0）
c=1
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
9/4/a^2-6/b^2=1
c^2=a^2+b^2
a^2=1/4
b^2=3/4
x^2/1/4-y^2/3/4=1
2、对曲线y=ln(2x-1)求导，得到该函数的切线函数y`=f(x)
令f(x)=2,2是直线函数的斜率
得到切点（x,y）
然后就是点到直线的距离
3、|PF|=“点P到准线的距离d”
则|PA|+|PF|=|PA|+d
2p=2,
p/2=1/2
准线的方程是
x=-1/2
所以
|PA|+d
的最小值是点A到准线的距离,2-(-1/2)=5/2
|PA|+|PF|的最小值是5/2。
y=3代入y^2=2x,得x=9/2。即P坐标是(9/2，3)

Answer 2

设M(ρ,α), P(ρ',α),因为O、M、P共线，所以P、M的角度相同，均为α。而
ρρ'=12，故ρ=12/ρ'. M在ρcosα=4上，所以12/ρ'cosα=4,P的轨迹方程为：
ρ’=3cosα

Answer 3

(1)根据导函数知识可知，因为点（x,y)在曲线y=f(x)上具有任意性，所以原函数f(x)的导函数f'(x)=x^2-2x,
由此可
反推原函数f(x)可能为：(1/3)x^3-x^2,
又因曲线过点(0,1),
所以f(x)=(1/3)x^3-x^2+1
(2)根据“原函数取得极值时，其导函数值为0”可得：3+b+c=0,
3-b+c=0,
c=-3,
b=0
在根据y'=3x^2+bx+c反推y=x^3+(b/2)x^2+cx+a
(a为待定常数）又因其过点(-1,4),所以
-1+b/2-c+a=4,
a=2
所以
y=x^3-3x+2