Question

设函数f（x）xe^（kx）（k≠0）

设函数f（x）xe^（kx）（k≠0）
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程
（2）求函数f（x）的单调区间
（3）若函数f（x）在区间（-1，1）的单调区间，求k的取值范围

Answer 1

（1）∵f（x）=xe^（kx）（k≠0）
f（0）=0，
f′（x）=（1+kx）e^（kx），
f′（0）=1，
∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是 y=x。
（2）令f′（x）=0，得 x=-1/k，
∴函数f（x）的单调增区间是：（-∞，1/k），
函数f（x）的单调减区间是：（-1/k，+∞）。
（3）k的取值范围是： -1≤k≤1。

Answer 2

1、f'(x)=(1+kx)e^kx,f'(0)=1,f(0)=0
曲线y=f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程为y=x
2、由f'(x)=(1+kx)e^kx=0得x=-1/k(k≠0)
若k＞0,则当x∈(-∞,-1/k)时，f'(x)＜0,函数f(x)单调递减；
当x∈(-1/k,+∞)时，f'(x)＞0,函数f(x)单调递增。
若k＜0,则当x∈(-∞,-1/k)时，f'(x)＞0,函数f(x)单调递增；
当x∈(-1/k,+∞)时,f'(x)＜0,函数f(x)单调递减。
3、由2知，若k＞0，则当且仅当-1/k≤-1，即k≤1时，函数f(x)在(-1,1)内单调递减；
若k＜0，则当且仅当-1/k≥1，即k≥-1时，函数f(x)在(-1,1)内单调递增。
综上所述，可知：函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增时，k的取值范围是[-1,0)∪(0,1]