Question

一道线性代数的题目，急

线性方程组 3a+b-c-2d=2
a-5b+2c+d=-1
2a+6b-3c-3d=λ+1
-a-11b+5c+4d=-4
当λ为何值时有解，在有解的情况下，求其全部解 请说明过程 谢谢

Answer 1

先写成矩阵形式
3 1 -1 -2 2
1 -5 2 1 -1
2 6 -3 -3 λ+1
-1 -11 5 4 -4
调换一二行的位置
1 -5 2 1 -1
3 1 -1 -2 2
2 6 -3 -3 λ+1
-1 -11 5 4 -4

然后进行初等行变换，第二行减去第一行的3倍，第三行减去第一行的2倍，第四行加上第一行的1倍
得
1 -5 2 1 -1
0 16 -7 -5 5
0 16 -7 -5 λ+3
0 -16 7 5 -5
然后第四行加1倍的第二行，第三行减去1倍的第二行得
1 -5 2 1 -1
0 16 -7 -5 5
0 0 0 0 λ-2
0 0 0 0 0
要有解那么系数矩阵的秩要等于增广矩阵的秩
所以λ-2=0 推出λ=2
又方程有4个未知数，而矩阵的秩等于2，所以有无穷多解
所以非齐次线性方程组的解等于一个特解加上齐次线性方程组的通解
那么得
41/16 9 3
5/16 + K1 5 + K2 7
0 0 16
0 16 0
注意解的最后写法不唯一