Question

高等数学函数连续性的题

设分段函数
f(x)=x,x∈Q
f(x)=0,x∈R\Q
证明
（1）f(x)在x=0连续；
（2）f(x)在非零的x处都不连续。
请给出详细的思考过程
不要照着同济6的答案抄袭
想明白了 谢谢

Answer 1

不知同济6是啥，以下给出我的证明。
证明：（ε-δ语言）
任取ε>0，存在δ=ε，当|x-0|<δ时，有|f(x)-f(0)|=|f(x)|<=|x|<δ=ε。由ε-δ语言知函数在0点连续。
对于证明不连续，反用ε-δ语言即可。
即在非零有理点x0，对于ε=x0/2，任取δ>0，在|x-x0|<δ这个区间内都存在无理数点x使得|f(x)-f(x0)|=|f(x0)|=x0>ε
在非零无理点x0，对于ε=x0/2，任取0<δ<x0/4，在|x-x0|<δ这个区间内都存在有理数点x使得|f(x)-f(x0)|=|f(x)|>x0-x0/4=3x0/4>ε=x0/2。
证完#

Answer 2

不知同济6是啥，以下给出我的证明。
证明：（ε-δ语言）
任取ε>0，存在δ=ε，当|x-0|<δ时，有|f(x)-f(0)|=|f(x)|<=|x|<δ=ε。由ε-δ语言知函数在0点连续。
对于证明不连续，反用ε-δ语言即可。
即在非零有理点x0，对于ε=x0/2，任取δ>0，在|x-x0|<δ这个区间内都存在无理数点x使得|f(x)-f(x0)|=|f(x0)|=x0>ε
在非零无理点x0，对于ε=x0/2，任取0<δ<x0/4，在|x-x0|<δ这个区间内都存在有理数点x使得|f(x)-f(x0)|=|f(x)|>x0-x0/4=3x0/4>ε=x0/2。
证完#