Question

对数的换底公式是什么，它是怎么推导的及其推论

我过了暑假就是高一新生，自己在家预习数学。各位能不能帮帮忙，书里没有写清楚换底公式到底是什么，它是怎么推导的及其推论，所以其帮我解答一下。

谢谢！！

Answer 1

换底公式是一个比较重要的公式，在很多对数的计算中都要使用。
log(a)(b)表示以a为底的b的对数。
所谓的换底公式就是log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).
推导：
有对数 log(a)(b) 设a=n^x,b=n^y
则 log(a)(b)=log(n^x)(n^y)
根据 对数的基本公式4：log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 和 基本公式5：log(a^n)(M)=1/nlog(a)(M)
得 log(n^x)(n^y)=y/x
由 a=n^x,b=n^y 得 y=log(n)(b),x=log(n)(a)
则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).

Answer 2

证明过程请参见下图：