Question

高中数学：求极限

求
(x^3-5x^2+3x+1)/(x^3-4x^2-x+4)
当x趋向于1时的极限。

Answer 1

这种题目用 罗必达法则
如果将x的极限值代入,分母是一个正常的数,那么直接代进去就出结果了

如果代入后是 0/0型 或者 ∞/∞ 型 (更广泛的还有1的∞次方等型),就可以套用罗必达法则

也就是原极限可以化为 分子的导数/分母的导数

这题:
lim (x^3-5x^2+3x+1)/(x^3-4x^2-x+4)
x→1 .... 可以看出是 0/0型,可用罗必达法则

= lim (3x^2-10x+3)/(3x^2-8x-1)
x→1 .... 对上式分子分母同时求导得到.

= (3-10+3)/(3-8-1) = 2/3 .... 直接代入即可

用罗必达法则要注意两点:

1. 0/0型 或者 ∞/∞ 型 (更广泛的还有1的∞次方等型), 这些时候才可以用罗必达法则,其他情况均不行(如 a/b , a/0 , 0/a 等, 其中a b是不为0的数)
,后两个的极限分别是∞和0

2. 不要和两函数商的求导公式混淆:
(1)罗必达法则是求极限的时候,函数商的极限值刚好等于分子分母求导再相除.
lim u(x)/v(x) = lim u'(x)/v'(x)
x→a x→a
(2)对于两个函数的商求导的情况不要以为就是简单的分子分母同时求导然后相除,而是应该比较负责的公式:
( u(x)/v(x) )' = ( u'(x)v(x)-u(x)v'(x) )/v(x)^2

这两者对于初学者来说比较容易混淆.

Answer 2

朋友，题目是n趋近与无穷大吧？
可以将（n-1）(2n-1)/(6*n^2)展开为(2n^2-3n+1）/(6*n^2)，可知2n^2/(6*n^2)在n趋近于无穷时极限存在且为1/3，而3n/(6*n^2)在n趋近于无穷时，约去一个n，可得其极限为0，而1/(6*n^2)在n趋近于无穷时极限也为0，所以(2n^2-3n+1）/(6*n^2)的极限为1/3-0-0=1/3，高中数学求极限有一个规则，对于两个多项式相除，在n趋于无穷的情况下，如果分子的最大次方与分母的最大次方相等则其极限就为分子分母最大次方前面的系数比；如果分子的最大次方大于分母的最大次方则其极限为0,；
如果分子的最大次方大于分母的最大次方则其极限为无穷。

Answer 3

一