Question

高等数学二重积分题

∫∫e的x^2+y^2次方dδ，其中D是由圆周x^2+y^2=4所围成的闭区域，∫∫下有个D
传图片！看的清些

Answer 1

二重积分注重看被积函数和被积区间的形式，由于有x^2+y^2的形式，故可联想到极坐标变换ds——>rdrdw,w表示区域角范围，1/(1-x^2-y^2）——>rdrdw/(1-r^2);将w分为:5pai/4~7pai/4,-pai/4~pai/4，两个区域，r对应范围0~-1/（sin(w)）,0~1/(cos(w)),最后可转换成只关于w的两个函数，不过这个题确实不太好积分，明天给答案。

Answer 2

用极坐标

∫∫e^(x^2+y^2)dδ
＝∫(0～2π)dθ∫(0～2) e^(ρ^2)ρdρ
＝2π∫(0～2) e^(ρ^2)ρdρ

被积函数的原函数是1/2×e^(ρ^2)，所以结果是π(e^4－1)

Answer 3

设x=pcosa,y=psina,由区域D知：0<p<2,0<a<2pi.
原式=∫（0到2pi）∫(0到2)e^(p^2)*pdpda (中间的积分只与p有关，与a
无关，可将a单独积分)
=1/2*∫（0到2pi）da∫(0到2)e^(p^2)d(p^2)
=pi*[e^(p^2)(p=2)-e^(p^2)(p=0)]
=pi*(e^4-1)