Question

一道二次函数的题目，要解题过程，谢谢了

二次函数y=ax2+bx+c，若a+b+c=0,a>b>c,且二次函数的图像经过点 （q,-a）,求证：当自变量x=q+4时，二次函数y=ax2+bx+c所对应的函数值y
大于0.

Answer 1

由 a+b+c=0
a>b>c ∴a>0，c<0
过（1，0）
........
实在写不下去了 这答案简直是天书
已知二次函数y=ax2+bx+c

　　（1）若a=2，c=-3，且二次函数过（-1，-2），求b

　　（2）若a=2，b+c=-2，b>c过（p，-2）点，求证b≥0

　　（3）若a+b+c=0，a>b>c，且过（q，-a），试问当自变量x=q+4时y=ax2+bx+c所对应的函数值是否大于0，并证明结论

　　[思路点拨]（1）把值分别代入即可求b的值。

　　（2）把已知条件代入解析式得关于p的方程，再利用“△”讨论b的范围从而证得b≥0。

　　（3）由a+b+c=0知二次方程 ax2+bx+c=0必有一根为1，由根与系数的关系可求出q+4的取值范围。再把点（q，-a）代入抛物线解析式，由△≥0可得a>b≥0，从而可求出当x=q+4时y>0。

　　解：（1）当a=2，c=-3，y=2x2+bx-3，又过（-1，-2）点 ∴b=1

　　（2）当a=2，b+c=-2，二次函数化为y=2x2+bx-（b+2）过（p，-2），把点代入得2p2+bp-b=0 ∴p是此方程的根

　　△=b2+8b=b（b+8）

　　又 b+c=-2

　　b>c

　　∴b>-b-2

　　∴b>-1

　　∴b+8>0 ∴b≥0

　　（3）由 a+b+c=0

　　a>b>c ∴a>0，c<0

　　又知ax2+bx+c=0有一根为1，由根与系数关系

　　x1+x2=-■

　　x1·x2=■

　　不妨设x1=1

　　∴x2=■ 又∵过（q，-a）点

　　当x=q时，y=-a<0 ∴■

　　∴■+4

　　再把点（q，-a）代入抛物线y=ax2+bx+c得aq2+bq+c+a=0 （q为方程的根）

　　∴△=b2-4a（a+c）=b2-4a（-b）=b2+4ab=b（b+4a）=b（3a-c）≥0

　　a>0

　　c<0

　　∴b≥0 ∵a>b≥0

　　2a≥a+b=-c

　　2a>-c

　　∴■>-2

　　∴■+4>-2+4=2>1

　　∴q+4>1

　　∴当x=q+4时，y的值大于0

　　[归纳点评]难点在（3）采用了数形结合思想，把点（q，-a）代入解析式，当x=q时y=-a<0（∵a>0）

　　∴可知y的值在x轴下方

　　即x21，则y>0。