Question

高中数学双曲线问题

已知F1,F2分别为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的范围是。答案为(√2，+00)，求过程 在线等

Answer 1

用动态的观点来看直线AF1，随着A点从X轴向上移动，直线AF1斜率越来越大，但是有一个极限到不了，就是AF1的斜率不可能达到渐近线的斜率，，如果达到的话，那么AF1就平行于渐近线，与右支不可能有交点，所以取这个极限来研究问题。
当A点处在右支顶点时，F2到AF1距离最小，为0，随着A点上移，距离越来越大，达到极限时距离最大（这时候A点不在双曲线上了，但是我们假设它在），此时点F2到AF1距离如果能达到2a以上，那么中间必然存在一点是等于2a的。这时候可算出在这个F1F2与垂足构成的直角三角形中，垂线长为2b要大于2a，所以b>a，当b=a时，离心率为√2，所以离心率范围为(√2，+00)，

Answer 2

追问

丨k丨<b/a没懂，，，求解释

追答

b/a为渐近线的斜率，要有交点的话，斜率肯定得小于渐近线。你可参照书上渐近线的位置看看~~不懂再问~

追问

懂了。谢谢！