Question

已知函数fx=xlnx,gx=(-x^2+ax-3)e^x

已知函数fx=xlnx,gx=(-x^2+ax-3)e^x
1当a=5时，求函数y=gx在x=1处的切线方程。
2求fx在区间[t,t+2]上的最小值
3若存在两不等实根x1.x2属于[1/e,e]使方程gx=2e^xfx成立，求a的取值范围。

Answer 1

(1) a=5时， g(x)=(-x^2+5x-3)e^x

g'(x)=(-2x+5)e^x+(-x^2+5x-3)e^x
=(-x^2+3x-3)e^x
g'(1)=(-1+3-3)e=-e 又g(1)=e

切线方程为;y-e=-e(x-1) 得 y=-ex+2e

(2) f'(x)=lnx+1
f(x)在(0,1/e)单调递减
f(x)在[1/e,+无穷)单调递增
若t>=1/e 则f的最小值为：f(t)=tlnt
则f的最大值为：f(t)=(t+2)ln(t+2)
若t<1/e 则f的最小值为：f(1/e)=-1/e
则f的最大值为：f(t)=(t+2)ln(t+2)

(3) g(x)=2e^xf(x)
(-x^2+ax-3)e^x=2e^x xlnx
-x^2+ax-3=2xlnx
可以画图分析知:
只需要-x^2+ax-3的最大值>2xlnx的最小值 且对称轴x=a/2>0即可。
a^2/4-3>-2/e
a>2根号（3+2/e）

追问

虽然错了，但是还是感谢你。

追答

第三题看错题目了，原来还有根在[1/e,e]之间
首先对称轴：x=a/2 满足1/e<a/2<=e
对称轴上的最大值满足： 3-a^2/4<=aln(a/2)

抛物线在x=e和x=1/e取到的值应该在曲线2xlnx的下方
-1/e^2+a/e-3<=-2/e
-e^2+ae-3<=2e
应该是这样的，不过比较复杂，步轴

Answer 2

有点儿乱，LZ不好意思了，凑合看好了