Question

已知三角形ABC中，角ABC所对的边分别为a,b,c，外接圆半径是2，且满足条件四分之一(a的平方

已知三角形ABC中，角ABC所对的边分别为a,b,c，外接圆半径是2，且满足条件四分之一(a的平方-c的平方)=(a-b)sinB (1)求角C的大小 (2)求三角形ABC面积的最大值

Answer 1

已知ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，外接圆半径是2，且满足条件
(1/4)(a²-c²)=(a-b)sinB；(1)。求∠C；(2)。求△ABC面积的最大值。
解：(1)。由正弦定理，可知a=4sinA，b=4sinB，c=4sinC，
∴cosC=(a²+b²-c²)/2ab=16(sin²A+sin²B-sin²C)/(32sinAsinB)
=(sin²A+sin²B-sin²C)/(2sinAsinB)..........(1)
由(1/4)(a²-c²)=(a-b)sinB，得4(sin²A-sin²C)=4(sinA-sinB)sinB，
即有sin²A-sin²C=(sinA-sinB)sinB；
故得sin²C=sin²A+sin²B-sinAsinB..........(2)
将(2)代入(1)式，得：cosC=sinAsinB/(2sinAsinB)=1/2，故C=π/3.
(2)。S△ABC=(1/2)absinC=(1/2)absin(π/3)=(√3/4)ab≦(√3/4)(a²+b²)/2.
当且仅仅当a=b时等号成立，而a=b时，由于C=π/3，故此时△ABC是等边三角形；
a=b=4sin(π/3)=2√3；故maxS△ABC=(√3/4)(12+12)/2=3√3.

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