已知实数X,Y满足2<=y<=4-x,x>=1,求x^2+y^2+2x-2y+2/xy-x+y-1的最小值

郭敦顒
2014-05-05 · 知道合伙人教育行家
郭敦顒
知道合伙人教育行家
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郭敦顒回答:
∵2≤y≤4-x,x≥1,
当x=1,y=2时符合条件,
min f(x,y) =x²+y²+2x-2y+2/xy-x+y-1=1+4+2-4+1-1+2-1=4。
而当x=1,y=3时,虽符合条件,
但f(x,y) =x²+y²+2x-2y+2/xy-x+y-1=1+9+2-6+2/3-1+3-1=7+2/3,
7+2/3>4,结果7+2/3非最小。
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当x=1,y=3时取最小值:2

(1)在坐标系中画出满足条件2<=y<=4-x,x>=1的点的区域
(2)根据线性规划可得1/3<=(y-1)/(x+1)<=1
(3)由基本不等式可得(x+1)/(y-1)+(y-1)/(x+1)的最小值为2
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