Question

微积分：洛必达法则求极限，谢谢。

Answer 1

,(打字不便，lim下的x→a略去)1.原极限=lim [-sinx-1/2*(1+x)^(-1/2)]/(3x^2)
显然，分子→-1/2，分母是无穷小量，
∴原极限=-∞
2.令t=1/x^2,,则x→0时，t→+∞
∴原极限=lim e^t/t=lim e^t/1→+∞
3.原极限=lim (1-x^2)/cos(πx/2)*sin(πx/2)=lim (1-x^2)/cos(πx/2)*lim sin(πx/2)
=lim (1-x^2)/cos(πx/2)
=lim (-2x)/(-π/2)*sin(πx/2)=4/π
4.x→-∞时，底数趋于-1，其幂无意义，∴只考虑x→+∞
原极限=lim e^[x ln(2 arctanx/π)]
先求A=lim x ln(2 /π*arctanx),
令u=arctanx.则x=tan u,且x→+∞时，u→π/2
∴A=lim sinu* ln(2u /π)/cosu=lim sinu*lim ln(2u /π)/cosu
=lim ln(2u /π)/cosu=lim (π/2u)/(-sinu)=-1
∴原极限=1/e
自己作作更能掌握，祝你顺利、成功！

Answer 2

第一题：0/0 型极限式；
lim{[cosx-√(1+x)]/x³}=lim{[-2sinx*√(1+x)-1]/[3x²*2√(1+x)]}=lim{-1/[6x²√(1+x)]} → -∞；
第二题：0×∞ 型极限式，可转换成 ∞/∞ 型；
lim{x²*e^(1/x²)}=lim{[e^(1/x²)]/(1/x²)}={t→+∞}lim{e^t/t}=lim{e^t} → +∞；
第三题：可看作 0×∞ 型极限式；
lim{(1-x²)tan(πx/2)}=lim{[tan(πx/2)]/[1/(1-x²)]}
=lim{(π/2)(1-x²)²/[cos²(πx/2)*(2x)]}=(π/2)lim{[(1+x)²/(2x)]*[(1-x)²/(cos(πx/2))]}
=(π/2)*2*lim{(1-x)²/cos(πx/2)}=πlim{2(1-x)/[(π/2)sin(πx/2)]}=4lim{(1-x)/sin(πx/2)}=4*0=0；
第三题，[(2/π)arctanx]^x=e^[xln(2/π)arctanx]，xln[(2/π)arctanx] 属 ∞×0 型极限式；
∴ lim{xln[(2/π)arctanx]}=lim{ln[(2/π)arctanx]/ (1/x)}=lim{(-x²)/[arctanx*(1+x²)]}
=lim{[-x²/(1+x²)]*arctanx}=-π/2（当 x→+∞）或 π/2（当 x→-∞）；
因此，当 x→+∞，lim{(2/π)arctanx}=e^(-π/2)=1/e^(π/2)；
当 x→-∞，lim{(2/π)arctanx}=e^(π/2)；