Question

高中数学！！！！！帮帮忙啊。。 谢谢！！

已知函数f(X)=aln(X+1),g(X)=x-1/2x^2.a属于R。
（1）若对任意的x属于【0，正无穷），都有f(X)≥g(X)恒成立，求a得最小值。
（2）设p(X)=F(X-1),a>0,若A（x1,y1）B(x2,y2)为曲线y=p(X)上两个不同点。满足0<X1<x2.且存在x3属于（X1,X2)使得曲线y=f(X)在x3处的切线与直线AB平行，求证：x3<(x1+x2)/2 【帮忙解决一下问题，谢谢】

Answer 1

1，设h（x）等于f(x)-g(x),对h（x）求导数，令导数大于零得到x^2>1-a，当a大于等于1时，导数大于等于0恒成立h（x）递增，故h（x）最小值是h（0）=0，h（x）大于等于0恒成立，当a小于1时函数h（x）在【0，根号下1-a】是单调递减的，因为h（x）=0所以h（x）必然会小于0，所以a小于1的时候不能满足题意，所以a最小值为1.
2，p（x）=alnx，直线AB斜率为a（lnx2-lnx1）/(x2-x1),在x3切线斜率为1/X3，因此要证明x3=（x2-x1）/（lnx2-lnx1）<（x1+x2）/2。因为x2大于x1，可以设x2=tx1，t>1因此问题转化为证明（t-1）/lnt<（t+1）/2【记为（*）式】，作函数H(t)=tlnt+lnt-2t-2,求2阶导数知道二阶导数大于零对t大于1恒成立，故1阶导数单调递增大于H'(0)=0，因此H(t)单调递增且H（t）大于H(1)=0，这就是（*）式，因此对任意t大于1（*)式成立，由x2，x1的定义知原命题得证

追问

x3在y=f(x)上，在x3的切线斜率应该是a/(x3+1)吧? 如果照这样下去不等式中会不光有t还有一个x1 ，怎么办呢？

追答

啊这样啊，那我们证明了（*)成立了，如果x3在f上面那就是（*）右边多了一个+1，其他都不变，自然那个不等式也成立的