Question

已知lim(x->0)(2arctanx-ln（1+x/1-x））/x^n=C!=0，求常数c和n的值。

请问是要用罗比达法则一步步做下去么?

Answer 1

ln（1+x/1-x）=ln(1+ 2x/(1-x) )～2x/(1-x)～2x 【x→0时】
而2arctanx～2x，
因此它们是等价无穷槐含小，仿明仿原式可化为
=lim (2x-2x/(1-x)）/x^n
=2·lim (1-1/(1-x))/x^(n-1)
= -2·lim (x/(1-x))/x^(n-1)
= -2·lim (1/(1-x))/x^(n-2)
= -2·lim 1/x^(n-2)
若极限存在，则必有备纤n-2=0
n=2.
若极限不为0，则
C= -2·lim 1/x^0
= -2

可见完全不用罗比达法则也可以作。

Answer 2

如果是0/0，∞/稿纤∞或0·∞的不定式且整个式子中有单哪敬皮独的可替换等价无穷小的因子则可以而且最好是将其替换为较简单的因子。
但如果分子中是被+或-隔开的就李差要慎重一些，不能冒然将整个式子按+-号拆开。
如果拆开之后的两个极限都存在才可以拆。