Question

一块三角形废料如图所示，角A=30°，角C=90°，AB=12,用这块废料剪出一个长方形CDEF，

一块三角形废料如图所示，角A=30°，角C=90°，AB=12,用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中点D.E.F分别在AC.AB.BC上，要使剪出长方形CDEF面积最大，点E应选在何处用二次函数解

Answer 1

设CF=x
CB=AB/2=6
0<x<6
FB=(6-x)
EF=√3FB
长方形CDEF面积y=CF*EF=√3x(6-x)
y=√3x(6-x)
y=-√3(x^2-6x)
y=-√3(x^2-6x+9-9)
y=-√3(x-3)^2+9√3
x=3
有最大面积
y=9√3
BE=2FB=2(6-x)=6

————————————————参考2：

设DE=x，AD/AC=DE/CB，（0≤x≤6）
所以AD=AC*DE/CB=cos30×AB×DE/(sin30×AB)=[(√3)/2]×12x/[（1/2）×12]=(√3)x
S=DC*DE=(AC-AD)*DE=(cos30×AB-AD)*DE=[12×(√3)/2-(√3)x]x=(6√3)x-(√3)x^2
S最大时，x=-（6√3）/（-2√3）=3，在0≤x≤6内，所以S最大=-（6√3）^2/(-4×√3)=9√3
AE=2DE=2×3=6

追问

能不能算设AE为x的

追答

假设直角边是最简单的架设方法，计算起来也简单。

不建议假设AE

追问

EF怎么求的

追答

设CF=x
CB=AB/2=6
0<x<6
FB=(6-x)
EF=√3FB          （直角三角形角度关系）
长方形CDEF面积y=CF*EF=√3x(6-x)
y=√3x(6-x)
y=-√3(x^2-6x)
y=-√3(x^2-6x+9-9)
y=-√3(x-3)^2+9√3
x=3
有最大面积
y=9√3
BE=2FB=2(6-x)=6

——————————————————

FB=(6-x)
EF=√3FB          （直角三角形角度关系，高中三角函数肯定学过了）

追问

可是我们是初中的

追答

∠B=60

tan60=EF/FB

EF=FBtan60=√3FB    

追问

答案上写EF等于根号3乘6减二分之一的差

二分之一乘x

追答

同学，我不知道你们书上的解答假设的未知数是什么，假设的未知数不一样，计算的过程和算式是不同的。

追问

AE

追答

同学，我这里的计算不涉及斜边，如果你有答案，请参考你们书上的答案。

我的解答有的步骤可能都省略了，比如tan60=，这些没有写出来。

追问

用勾股定理

追答

是的。

Answer 2

因为∠A＝30° ∠C＝90°AB＝12

所以BC＝6 AC＝3√3

以C点为坐标原点建立直角坐标系

设AB所在直线方程为y＝kx＋b

将A B两点带入后求得

y＝－√3x＋6√3

又因为点E在直线上

所以设E点坐标为(x,-√3x+6√3）

S＝x×(-√3x+6√3）

＝-√3x²+6√3x

所以x＝3时面积最大

所以E(3,3√3）