求级数(-1)^n x^2n+1/2n+1
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解法：因
|[(-1)^(n+1)][x^(2n+3)]/(2n+3)]|/|[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1)|
= (x^2)[(2n+1)/(2n+3)] → x^2 (n→∞)，
据比较值判别法得知当 |x^2|<1，即 |x|<1 时，该级数绝对收敛。为求其和，记
f(x) = ∑{n>=0}[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1)，|x|<1，
求导，得
f'(x) = ∑{n>=0}[(-1)^n][x^(2n)]= 1/(1+x^2)，|x|<1，
积分，得原级数的和
f(x) = ∫[0,x]f(t)dt
= ∫[0,x][1/(1+t^2)]dt
= arctanx ，|x|<1。
|[(-1)^(n+1)][x^(2n+3)]/(2n+3)]|/|[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1)|
= (x^2)[(2n+1)/(2n+3)] → x^2 (n→∞)，
据比较值判别法得知当 |x^2|<1，即 |x|<1 时，该级数绝对收敛。为求其和，记
f(x) = ∑{n>=0}[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1)，|x|<1，
求导，得
f'(x) = ∑{n>=0}[(-1)^n][x^(2n)]= 1/(1+x^2)，|x|<1，
积分，得原级数的和
f(x) = ∫[0,x]f(t)dt
= ∫[0,x][1/(1+t^2)]dt
= arctanx ，|x|<1。
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