Question

已知y=sinx*cosx/2+sinx+cosx，x∈[0，2π) ①求y的最小值 ②求当取最小

已知y=sinx*cosx/2+sinx+cosx，x∈[0，2π)
①求y的最小值
②求当取最小值时，x+(π/4)的正弦值

Answer 1

令u=2+sinx+cosx = 2+√2 sin(x+π/4) ∈[2-√2,2+√2]
(u-2)² = sin²x+cos²x+2sinxcosx = 1+2sinxcosx
sinxcosx = [ (u-2)²－1) ] /2
y = [ (u-2)²－1) ] / (2u)
= (u² - 4u+3) / (2u)
= u/2 + 3/(2u) －2
= 1/2 (u + 3/u) － 2
≥ √(u * 3/u) －2 【基本不等式 (a+b)/2 ≥ √(ab)】
= √3 －2
当且仅当 u = 3/u 即 u=√3 时取等号
u=√3 在 [2-√2,2+√2] 内，能取到等号
所以最小值为 √3－2