Question

任意一个齐次线性方程组都有基础解系吗？线性代数，求大神解答。

Answer 1

不一定，有基础解系首先要有解吧，但并不是所有的齐次线性方程组都有解。
基础解系含解的个数等于n-r，其中n是未知量的个数，r是系数矩阵的秩。

追问

齐次线性方程组一定有解

追答

对对，起码有零解。不好意思我想成了非齐次的~~

追问

是不是只有唯一解为零解是才没有基础解系

没事*^_^*

我还有一个问题 你帮我看看 极大无关组和无关组有什么区别

齐次的基础解系是由极大无关组构成的？

追答

从基础解系所含解的个数来看嘛，n-r，当r=n，也就是只有零解的时候才没有基础解系。

一般都说极大线性无关组，而单纯研究无关组没什么意思，因为在极大线性无关组里任意选取向量都是无关组。
基础解系的解一定是线性无关的，而极大无关组一般针对一组向量来说的，所以也不用把它们牵扯在一起~

追问

系数矩阵的秩是极大无关组的个数，未知量的个数 -秩=解空间维数。如果是齐次，维数会和秩相等吗？

极大无关组的个数一定比无关组个数大？

追答

维数和秩？解空间的维数么？

对于同一组向量而言，极大无关组的个数一定大于等于无关组的个数，因为极大无关组的性质之一是再加一个向量便是线性相关的。

追问

无关组也有同样的性质

我总是把向量和线性方程扯在一起，越搞越乱

非常感谢你的回答

追答

~O(∩_∩)O~
不过最常用的概念就是极大线性无关组了，对于一组向量，一般也不用“无关组”这个名词~
向量和线性方程有本质的联系，但是一定要把它们自身的概念、性质那些弄清楚

追问

你觉得最需要搞清楚哪些方面？求指导。我看书，就直接看过去。后来做题，就很乱

追答

其实那一部分内容应该分两大块吧：理论和解的计算。
理论的话先要搞清楚基本概念，什么是基础解系等等；
然后再看定理，如果可以的话弄懂定理的证明，对逻辑的梳理有好处。
然后就是做计算题了，不断地做初等行变换求秩、选取自由变量、再求基础解系~这一套的方法都是一样的，多做几道题就懂了~~

追问

哦 好滴 非常感谢你的回答

不懂再来问你哈*^_^*

追答

哈哈~荣幸O(∩_∩)O~

追问

麻烦你帮我看一道题 谢谢

追答

对的，可以从线性无关的角度来证明

追问

还有这道题，思考的方向？

第一道？

怎么说？

追答

从线性相关或无关的定义来想就好了。设有不全为0的…使得…成立。最重要的就是刚说的这句话。
应该是选C吧

追问

我用定义，可是完全没头绪。式子列出来了，可是题目的条件没用上

能用维数和个数来判断吗

追答

咱们私聊吧，可能方便些~我qq：1337153944