Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E.F为垂足.

Answer 1

证明：过P作PG⊥AB于G，交BD于O，

∵PF⊥AC，∠A=90°，

∴∠A=∠AGP=∠PFA=90°，

∴四边形AGPF是矩形，

∴AG=PF，PG∥AC，

∵BD=DC，

∴∠C=∠GPB=∠DBP，

∴OB=OP，

∵PG⊥AB，PE⊥BD，

∴∠BGO=∠PEO=90°，

在△BGO和△PEO中

∠BGO＝∠PEO∠GOB＝∠EOPOB＝OP

∴△BGO≌△PEO，

∴PE=BG，

∵AB=BG+AG，

∴PE+PF=AB

．

Answer 2

求证：PE＋PF＝AB

做BM∥AC，交FP的延长线于M
∵∠A=90°,
PF⊥AC，即∠MFA=90°
∴∠A+∠ABM=180°
∴∠ABM=∠A=∠MFA=90°
∴ABMF是矩形
∴∠M=90°，AB=PF+PM(PF+PM=FM)
∵BM∥AC，BD=CD
∴∠MBP=∠C
∠C=∠EBP(∠EBP=∠DBC)
∴∠MBP=∠EBP
∵PB=PB
∠M=∠PEB=90°(PE⊥BD,即∠PEB=90°)
∴△PBM≌△PBE(AAS)
∴PE=PM
∴AB=PE+PF