Question

在三角形ABC中，三内角A,B,C

在三角形ABC中，三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.且2bcosC=2a-c
(1)求角B的大小
(2)求sinAsinC的取值范围

Answer 1

答：
1）
三角形ABC中，2bcosC=2a-c
结合正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
有：2sinBcosC=2sinA-sinC
因为：sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
所以：2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC
所以：2cosBsinC=sinC>0
所以：cosB=1/2
解得：B=60°
2）
因为：A+C=120°
所以：
sinAsinC
=(1/2)[cos(A-C)-cos(A+C)]
=(1/2)cos(A-C)-(1/2)cos120°
=(1/2)cos(A-C)+1/4
A趋于120°，C趋于0，则A-C趋于120°
所以：-120°<A-C<120°
所以：-1/2<cos(A-C)<=1
所以：-1/4+1/4<sinAsinC<=1/2+1/4
所以：0<sinAsinC<=3/4

Answer 2

1, 2sinBcosC=2sinA-sinC sinA=sin(B+C)
2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC
2cosBsinC=sinC
cosB=1/2 B=60
2, A+C=180-60=120 C=120-A
sinAsinC=sinAsin(120-A)
=sinA*(√3/2*cosA+1/2*sinA)
=√3/4*sin2A+1/4*(1-cos2A)
=1/2(√3/2*sin2A-1/2*cos2A)+1/4
=1/2*sin(2A-30)+1/4 0<A<120 -30<2A-30<210
sin(2A-30)的范围为(-1/2,1]
故sinAsinC的范围为(0, 3/4]