Question

f(x)n阶连续可导是否能推出f(x)导数有（n+1)阶？

f(x)n阶可导，指的是f(x)有n阶导数还是有（n+1)阶？
2.f(x)n阶连续可导呢？是否能推出f(x)导数有（n+1)阶？

Answer 1

n阶可导，就是指它的n阶导数在定义域内处处存在。至于等于多少并没有限制。如函数f(x) = x ^ 2.你的一阶导数在x = 0时为0，其他点不为0.

有n阶连续的导数并不能推出它有n+1阶导数，这和连续不一定可导是一样的道理。例如函数
定义在[0,2]上的函数f(x)满足
f(x) = x ^ 2, 0<=x<=1
f(x) = 4 * x - x ^ 2, 1 < x <= 2
则容易验证它一阶导数在[0,2]内均存在而且连续。但是二阶导数在点x = 1处不存在。
有n阶连续的导数其实只能写成n-1阶泰勒公式（余项是n阶的）。书上泰勒公式条件都是要有n+1阶导数（其中第n+1阶导数没有要求连续，前面n阶导数连续可以由n+1阶导数存在推出）

Answer 2

（1）、f(x)n阶可导，指的是f(x)有n阶导数；
（2）、f(x)n阶连续可导是f(x)有(n+1)阶导数的必要条件但不充分条件，
导数存在的前提是函数连续且左极限等于右极限。