Question

求问个数学归纳法题目

假设有非负整数 X Y.
1:证明7X+10Y无论XY如何取值，恒不等于53.
2：用数学归纳法证明存在非负整数xy 使得7X+10Y=n n>=54且为正整数 (题目的意思是 7X+10Y=54 =55 =56 =57 =... =n全成立）

谢谢

Answer 1

（1）7*9=63>53，而7乘以其他数的末尾都不是3，所以恒不等于53.
（2）证：先列出 n=54 至 n=60 的情况，n取这7种情况时都存在非负整数x和y，使 7x+10y=n
n=54到60的7种情况：x=2,y=4 n=54 ；x=5,y=2 n=55 ；x=8,y=0 n=56 ；x=1,y=5 n=57 ；
x=4,y=3 n=58 ；x=7,y=1 n=59 ；x=0,y=6 n=60 .
当自然数 n>=54 时，对 n 的范围做这样的划分：
对任意的自然数 n>=54 ，存在自然数 k ，使得 7(k-1) <= n-54 < 7k
现对自然数 k 做归纳；由上述列出的n=54至n=60这7种情况，可知 k=1 时结论已成立；
现假设 k 时的情况结论成立，即n在范围：7(k-1) <= n-54 < 7k 时结论成立，即存在非负整数x和y，使得 7x+10y=n ；
那么对 k+1 时的情况，即 7((k+1)-1)) <= n-54 <7(k+1) 时，即 7k <= n-54 < 7k+7
此时存在整数m，使得 0<=m<=6 ，有 n-54=7k+m ，即 n=7k+m+54 ；
而当 N-54=7(k-1)+m 时，有 7(k-1) <= N-54 < 7k ，由归纳假设，
存在非负整数x和y，使得 7x+10y=N (这里N满足 N-54=7(k-1)+m )；
现对于k+1情况时 n-54=7k+m 中的n，有 n=N+7 ，由于x是非负整数，则x+1也是非负整数，
那么取 x+1和y这两个非负整数，就有 7(x+1)+10y=n .这样就完成了归纳假设的证明，即
存在非负整数x和y，使得 7x+10y=n n>=54 且n为自然数。
因为题目要求用数学归纳法，其实第(2)问不用归纳法可能更容易证明。
今天早上看到这道题时题目当时是存在正整数x和y，当时还在想n=56时就不行了~
上述证明过程中是对 k 做归纳，如有不清楚的可以再细问，希望对你有帮助~

Answer 2

1,证明:
因为 7 的自然数倍数的个位为 7 4 1 8 5 2 9 6 3 0,而个位为 3 时是7 * 9.
又因为 x,y >0,且为整数.所以,当 x=9时,7x+10y>=63.即不可能找到 x,y使得 7x+10y=53 等式成立.
证完.
我来接着答了,我想说,第二题我认为命题是错误的,我来证明他是错的.
2,命题不成立,
证明:
假设命题成立,用数学归纳法证明:
当 n=54 时,
有 x(1)=2,y(1)=4 满足;

设 n=k 时成立,
即 7*x(k)+10*y(k)=k;

当 n=k+1 时,
7*x(n)+10*y(n)=n=k+1
<=> 7*x(n)+10*y(n)=7*x(k)+10*y(k)+1
<=> 7*(x(n)-x(k))+10*(y(n)-y(k))=1
解得:
x(n)=x(k)+3
y(n)=y(k)-2

即 Y 随着 n 的增大而减小.因为 n=54 时,y=4,所以,当 n=56 时, y=0,x=8.与题目条件要求 x,y均为正整数矛盾.
即证命题不成立.
实际上,我们通过如下列举就可得出命题不成立,即使规定 x,y 为自然数也是如此:
n=55
x=5,y=2

n=56
x=8,y=0

n=57
x=1,y=5

n=58
x=4,y=3

n=59
x=7,y=1

n=60
x=10,y=-1

追问

这个解答不对，恶心 复制别人的

Answer 3

1.
7x的个位得是3，而最小的是63，超了。

2.
第一步：枚举54<=n<=60时命题为真
n=54: x=2,y=4
n=55: x=5,y=2
n=56: x=8,y=0
n=57: x=1,y=5
n=58: x=4,y=3
n=59: x=7,y=1
n=60: x=0,y=6

第二步：证明——若当k>60且n=k-7时命题为真，则n=k时命题为真。
设k-7=7a+10b，则k=7(a+1)+10b.

所以，命题在n>=54时恒成立。

追问

麻烦能写下第二部的详细过程嘛 谢谢