Question

已知函数f(x)对任意实数xy都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x<0时f(x)>1,(1)求f(0)，(2)求证f（x）是R上减函数

一共两个问题，求解答！！！！

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Answer 1

已知函数f(x) 对任意实数x,y，都有f(x)+f(y)=1+f(x+y)，且当x<0时，f(x)>1
(1)求f(0)；
(2)求证：f(x)是R上的减函数；
(3)若f(6)=9，解不等式f(5x+2)<5
(1)解析：∵函数f(x) 对任意实数x,y，都有f(x)+f(y)=1+f(x+y)
令x=y=0，则f(0)+f(0)=1+f(0+0)==>f(0)=1；
(2)证明：令y=-x有f(x)+f(-x)=f(0)+1==>f(-x)=2-f(x)
设x1<x2,即x1-x2<0
f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)+1==>f(x1)-f(x2)+2=f(x1-x2)+1
==>f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-1
∵当x<0时，f(x)>1
∴f(x1)-f(x2)>0
∴f(x)是R上的减函数
(3)解析：设f(6)=f(3)+f(3)-1=9==>f(3)=5
f(5x+2)<f(3)=5==>5x+2>3==>x>1/5

第二题图中数据看不清，请给出

追问

求解

追答

(1)解析：∵f(x)=Asin(wx+φ)(w>0,0T=2π==>w=1
∴f(x)=Asin(x+φ)==> f(π/3)=Asin(π/3+φ)=A==>π/3+φ=π/2==>φ=π/6
f(0)=Asin(π/6)=2==>A=4
∴f(x)=4sin(x+π/6)
(2)解析：将坐标系纵坐标不变，横坐标小到原来的1/2，f(x)图像变为y=4sin(2x+π/6)图像；
再将y=4sin(2x+π/6)图像右移π/6，得g(x)=4sin(2x-π/3+π/6)=4sin(2x-π/6)

g(x)单调增区间：2kπ-π/2kπ-π/62kπ-π/4<=x<=2kπ+3π/4
Y(-π/2)==4sin(-π/2-π/4)=-2√2
Y(5π/12)==4sin(5π/12-π/4)=2最大值
Y(-π/4)==4sin(-π/4-π/4)=-4最小值

Answer 2

22.（1）另x=y=0，则f(0)=2f(0)-1 所以f(0)=1
（2）设X1<x2

f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-1-f(x2)=f(x1-x2)-1

又x1<x2则x1-x2<0 所以f(x1-x2)<1 所以f(x1)-f(x2)>0 所以f（x）是R上减函数
(3) f(6)=f(3)+f(3)-1=9 所以f(3)=5

又f（x）是R上减函数所以f(5x+2)>5=f(3)即 5x+2<3 所以x<1/5