Question

高中数学圆锥曲线问题

已知P为双曲线x²/a²-y²/b²=1（a>0,b>0）上一点，F1，F2为焦点，若角F1PF2=60°，则S△F1PF2=（ ）
A.√3 b² B.(√3)/4ab C.（√3）/ |b²-a²| D.(√3)/2 |a²+b²|

Answer 1

设∠F1PF2=θ，PF1=m，PF2=n，F1F2=2c，那么S(△F1PF2)=(mn·sinθ)/2，
由余弦定理，得4c²=m²+n²-2mn·cosθ=(m-n)²+2mn(1-cosθ)=4a²-2mn(1-cosθ)，所以得到
mn=2(c²-a²)/(1-cosθ)=2b²/(1-cosθ)，所以
S(△F1PF2)=(mn·sinθ)/2=[b²/(1-cosθ)]·sinθ=b²sinθ/(1-cosθ)
又因为tan(θ/2)=(1-cosa)/sina，所以cot(θ/2)=sinθ/(1-cosθ)，所以
S(△F1PF2)=b²sinθ/(1-cosθ)=b²cot(θ/2)，这个结论有些资料有证明。