Question

求解一道初等数论题

求证 ln3/ln2是超越数
楼下得太笼统了 换句话就是如何把ln3/ln2化为a的b次方形式 其中a为不是0与1的代数数 b是不是有理数的代数数 例e的pi次方等于-1的i次方 所以e的pi次方是超越数

Answer 1

ln是以e为底P的的对数 当P为质数时 ln一定是超越数 3和2都是质数 3不等于2 所以 ln3/ln2一定是超越数

Answer 2

设x=ln3/ln2,则2^x=3
这样不知道可以不可以：
假设存在：a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n = y = 0
则：2^y = 1
即:2^〖a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n〗=1
然后:2^an*x^n=3^3^3…（呵呵，很长的一串，用指数运算法则就是了）
然后，可以证明左边是大于1的整数，这就矛盾了。

Answer 3

这个题不容易,设x=ln3/ln2,则2^x=3,需证明x不是一个代数方程的根,即不存在正整数n和实数a0,a1,a2,...,an使得
a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n=0