Question

线性代数，Ax=0的解均是Bx=0的解，那么r(A)>=r(B),这句话对不对？

Answer 1

是对的。
Ax=0的解均是Bx=0的解，则Ax=0的基础解系包含于Bx=0的基础解系
故Ax=0的基础解系中解向量的个数不超过Bx=0的基础解系的解向量的个数。
设Ax=0的基础解系中解向量的个数为r,Bx=0的基础解系的解向量的个数t。
则r<=t,而r(A)=n-r,r(B)=n-t,(这里假设方程组n元的）
故r(A)>=r(B)

追问

大神每次都解答的很仔细，谢谢。不过上个答案较早，我已经在另一个问题里采纳你的答案了

追答

没关系的，谢谢。
此问题的进一步的命题有：
若Ax=0与Bx=0同解，那么r(A)=r(B）
可参见同济大学线性代数例题，该结论可作为定理和方法使用。即用方程组的同解理论来证明矩阵有相等的秩。

Answer 2

AX=0的解均是BX=0的解，可理解为矩阵A所对应方程组实际所含方程的个数大于等于矩阵B对应方程组实际所含方程个数，就是R(A)>=R(B).所以，是对的

追答

为什么方程个数大，秩就大？

Answer 3

AX=0的解都是BX=0的解，那么AX=0的解空间维数必然不超过BX=0的解空间维数，同时可知AX=0与BX=0的未知量个数相等，利用“系数矩阵的秩=未知量个数-解空间维数”，可得r（A）>=r（B）

Answer 4

对，

追问

理由？

追答

由条件推出A的解空间维数是小于B的

r(a)=n-解空间维数

所以a的大于b的

追问

解空间维数就是解系个数吗？

追答

解系只有一个，解空间维数是解系中向量个数，两者不一样

追问

哦，那就是行最简型中零行个数，就是解系中向量个数

追答

对