不知道你还需要这个答案不，不过我写上来8
因为两道题都是f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，我中间就不提了
28. φ(x)=f(x)-x/2, f(0)=0, f(1)=1/2
=> φ(0)=f(0)=0, φ(1)=f(1)-1/2=0, φ′(x)=f′(x)-1/2,
φ(1/2)-φ(0)=f(1/2)-1/4-f(0)=f(1/2)-1/4
根据拉格朗日中值定理，=>存在ξ∈(0,1/2)
φ(1/2)-φ(0)=φ′(ξ)(1/2-0)=1/2φ′(ξ)=1/2f′(ξ)-1/4
φ(1)-φ(1/2)=f(1)-1/2-f(1/2)+1/4=1/4-f(1/2)
根据拉格朗日中值定理，=>存在η∈(1/2,1)
φ(1)-φ(1/2)=φ′(η)(1-1/2)=1/2φ′(η)=1/2f′(η)-1/4
=>φ(1/2)-φ(0)+(φ(1)-φ(1/2))=f(1/2)-1/4+1/4-f(1/2)=0=1/2f′(ξ)-1/4+1/2f′(η)-1/4
=>f′(ξ)+f′(η)=1
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29. 1) φ(x)=f(x)+x-1, f(0)=0, f(1)=1
=> φ(0)=f(0)-1=-1, φ(1)=f(1)+1-1=1, φ′(x)=f′(x)+1
根据介值定理 φ(0)φ(1)=-1＜0
=> 存在ξ∈(0,1)，使得φ(ξ)=0=f(ξ)+ξ-1
=>f(ξ)=1-ξ
2) 根据1) f(ξ)-f(0)=1-ξ-0=1-ξ, f(1)-f(ξ)=1-1+ξ=ξ
根据拉格朗日中值定理，=>存在η1∈(0,ξ)，η2∈(ξ,1)
f(ξ)-f(0)=f′(η1) (ξ-0)=f′(η1)ξ => f′(η1)=(1-ξ)/ξ
f(1)-f(ξ)=f′(η2) (1-ξ) => f′(η2)=ξ/(1-ξ)
=>f′(η1)f′(η2)=1
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