Question

已知函数f(x)=2^|x-m|和函数g(x)=x|x-m|+2m-8,（Ⅰ）若m=2，求函数g（x）的单调区间； ．

（Ⅱ）若方程f（x）=2|m|在x∈[-4，+∞）恒有唯一解，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若对任意x1∈（-∞，4]，均存在x2∈[4，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

(II)f(x)={2^(x-m),x>=m;为增函数，值域是[1,+∞);
{2^(m-x),x<m,为减函数，值域是(1,+∞),
m<=-4时由第一段函数知，方程f（x）=2|m|在x∈[-4，+∞）恒有唯一解,
<==>2|m|>=2^（-4-m),
<==>-m*2^m>=2^(-5),①
设h(m)=-m*2^m,m<=-4,
h'(m)=-2^m*(1+mln2)>0,h(m)是增函数，
h(-8)=8*2^(-8)=2^（-5），
∴由①得-8<=m<=-4.
m>-4时仅当2|m|=1,即m=土1/2时方程f（x）=2|m|在x∈[-4，+∞）有唯一解.
综上，m的取值范围是{土1/2}∪[-8,-4].
（III)g(x)=x|x-m|+2m-8
={x(x-m)+2m-8=(x-m/2)^2-m^2/4+2m-8,x>=m,
{x(m-x)+2m-8=-(x-m/2)^2+m^2/4+2m-8,x<m.
对任意x1∈（-∞，4]，均存在x2∈[4，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立:
1)m>=4,f(x1)的值域是[2^(m-4),+∞),g(x2)的值域是[2m-8,+∞），
2^(m-4)>=2m-8,设u=m-4>=0,变为2^u>=2u,②
设H(u)=2^u-2u,u>=0,
H'(u)=2^u*ln2-2=0,得u1=log<2>(2/ln2),
H(u1)=2/ln2-2log<2>(2/ln2)≈-0.1721，为H(u)的最小值，
H(1)=0=H(2),由②得0<=u<=1,或u>=2，
即4<=m<=5,或m>=6.
2)m<4,f(x1)的值域是[1,+∞),g(x2)的值域是[8-2m,+∞），
8-2m<=1,7/2<=m<4.
综上，m的取值范围是[7/2,4]∪[6,+∞).

Answer 2

当m=2时，g(x)=x|x-2|-4
x≥2时g(x)=x^2-2x-4=(x-1)^2-5，在x≥2上单增；
x<2时g(x)=-x^2+2x-4=-(x-1)^2-3，在(负无穷大,1)上单增，在(1,2)上单减。
所以g(x)单增区间为(负无穷大,1)和(2,正无穷大)，单减区间为(1,2)

要使2lx1-ml=x2lx2-ml+2m-8，x1∈（-∞，4]，x2∈[4,+∞)
当m>4时，x1-m<0，
所以=2m-2x1∈[2m-8,+∞),
而m>4，当x2=m时，x2lx2-ml=0，
所以x2lx2-ml+2m-8∈[2m-8,+∞),
f(x1)和g(x2)值域相同，所以当m>4时，f(x1)=g(x2)可以成立，
当m<4时，2lx1-ml∈[0，+∞），（x1=m时等于0）
x2-m恒大于0，所以g(x2)=x2lx2-ml+2m-8=x2^2-mx2+2m-8,
△＝b^2-4ac=m^2-8m+32=(m-4)^2+16>0,
所以g(x2)有2个零点，
要使g(x2)在[4,+∞)的值域包含[0，+∞）,则右零点必须在x=4的右侧，
(m+√m^2-8m+32)/2>4
√m^2-8m+32>8-m
m^2-8m+32>m^2-16m+64
m>4
两种情况结果相同，所以解m∈[4,+∞)