Question

已知向量a=(sinωx,cosωx),b=(cosφ,sinφ),函数f(x)=a·b(ω＞0，π/3＜φ＜π）的最小正周期为2π,

已知向量a=(sinωx,cosωx),向量b=(cosφ,sinφ),函数f(x)=a·b(ω＞0，π/3＜φ＜π）的最小正周期为2π,其图像经过点M（π/6，√3/2）。
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知α，β∈（0，π/2），且f（α）=3/5，f（β）=12/13，求f（2α-β）的值。
过程要详细

Answer 1

已知向量a=(sinωx,cosωx),向量b=(cosφ,sinφ),函数f(x)=a·b(ω＞0，π/3＜φ＜π）的最小正周期为2π,其图像经过点M（π/6，√3/2）。
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）已知α，β∈(0，π/2)，且f(α)=3/5，f(β)=12/13，求f(2α-β)的值。

解：(1)。f(x)=a•b=sinωxcosφ+cosωxsinφ=sin(ωx+φ)；已知f(x)的最小正周期T=2π，故ω=1；
即f(x)=sin(x+φ)；又f(x)的图像过点M(π/6，√3/2)，代入得：sin(π/6+φ)=√3/2，已知π/3＜φ＜π，
故得π/6+φ=π-π/3，即φ=2π/3-π/6=π/2；故得解析式为：f(x)=sin(x+π/2)=cosx；
(2)。f(α)=cosα=3/5；f(β)=cosβ=12/13；因为α，β∈(0，π/2)；故sinα=√(1-9/25)=4/5；
sinβ=√(1-144/169)=5/13；sin2α=2sinαcosα=2×(4/5)×(3/5)=24/25；
cos2α=2cos²α-1=18/25-1=-7/25；
于是得f(2α-β)=cos(2α-β)=cos2αcosβ+sin2αsinβ=(-7/25)×(12/13)+(24/25)×(5/13)=36/325.

Answer 2

已知向量a=(√3,cosωx),b=(sinωx,1)(ω>0)函数f(x)=aXb,且最小正周期为4π.
1.设α,β∈[π/2,π],f(2α-π/3)=6/5,f(2β+2π/3)=-24/13,求sin(α+β)的值
解析：∵向量a=(√3,cosωx),b=(sinωx,1)(ω>0)
∴函数f(x)=a·b=√3sinωx+ cosωx=2sin(ωx+π/6)
∵最小正周期为4π
∴f(x)=2sin(1/2x+π/6)
设α,β∈[π/2,π],
f(2α-π/3)= 2sin(α)=6/5==>sinα=3/5==>cosα=-4/5,
f(2β+2π/3)=2sin(β+π/2)=-24/13==>cosβ=-12/13==>sinβ=5/13
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=-36/65-20/65=-56/65