Question

高中数学：函数。

Answer 1

已知函数f(x)=blnx，g(x)=ax^2-x (a,b∈R)
（1）若曲线f(x)与g(x) 在公共点A(1,0)处有相同的切线，求a,b的值；
（2）当b=1时，若曲线f(x)与g(x)在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一；
（3）若a＞0，b=1，且曲线f(x)与g(x)总存在公切线，求正实数a的最小值．
（1）解析：∵函数f(x)=blnx，g(x)=ax^2-x (a,b∈R)在公共点A(1,0)处有相同的切线
∴blnx=ax^2-x
代入x=1==>a-1=0==>a=1
f’(x)=b/x==> f’(1)=b，g’(x)=2ax-1==>g’(1)=2a-1=1
∴a=b=1
(2)证明：设P(x0,y0)
令b=1，∴f(x0)=lnx0=ax0^2-x0
∵函数f(x)与g(x)在公共点P处有相同的切线
f’(x)=1/x，g’(x)=2ax-1
∴1/x0=2ax0-1==>a=(1+x0)/(2x0^2)
代入前式得lnx0=x0^2(1+x0)/(2x0^2)-x0=1/2-x0/2
令h(x)=lnx+x/2-1/2
∴h’(x)=1/x+1/2
∵x>0，∴h’(x)>0，即在定义域上单调增
∴h(x)图像与X轴最多只能有一个交点
∴函数f(x)与g(x) 最多只能有一个交点P(1,0)
（3）解析：∵a＞0，b=1时，曲线f(x)与g(x)总存在公切线，(切点不一定为同一点)
f(x)=blnx==>f’(x)=b/x=1/x
f(x)在(x0,lnx0)处的切线为y-lnx0=1/x0(x-x0)==>y=x/x0+lnx0-1
令ax^2-x=x/x0+lnx0-1==>ax^2-(1+1/x0)x-lnx0+1=0
⊿=(1+1/x0)^2+4a(lnx0-1)=0
(1+1/x0)^2=-4a(lnx0-1)有解
下面分段考察解的情况：
当x0>e时，lnx0>1，a>0，则(1+1/x0)^2<0，显然x0应<e，即0<x0<e
当0<x0<e时，4a=(1+x0)^2/[x0^2(1-lnx0)]
令h(x)=(1+x)^2/[x^2(1-lnx)] (0<x<e)
令h’(x)=(1+x)(2lnx+x-1)/[x^3(1-lnx)^2]=0
1+x=0==>x=-1，不在定义域内舍去
2lnx+x-1=0==>x=1
x∈(0,1)时，h’(x)<0，h(x)单调减；x∈(1,e)时，h’(x)>0，h(x)单调增；
∴h(x)在x=1处取极小值h(1)=4
∴要使(1+1/x0)^2=-4a(lnx0-1)有解，只须4a>=4==>a>=1
∴正实数a的最小值为1．

Answer 2

题目看不清，能打出来吗？