Question

如图△ABC三边的长分别为AB=4,BC=5,CA=6,直线l∥BC分别交△ABC的两边AB,AC 于点M,N

（1）若直线l平分三角形的面积，则线段MN的长为

（2）若直线l过三角形ABC的内心I，试求MN的长为

（3）作NP∥AB交BC于点P,且平行四边形MBPN的面积=2/5三角形ABC的面积，求MN的长

过程详细点，鼠绘很差，别介意，谢谢

Answer 1

1、S△AMN/S△ABC=1/2

△AMN∽△ABC

∴S△AMN/S△ABC=(AM/AB)²=1/2

AM/4=√2/2

AM=2√2

  MN/BC=AM/AB=2√2/4=√2/2

MN=5√2/2

2、易得BM=CN=MN

△AMN∽△ABC

AM/AB=MN/BC=AN/AC

AM=(AB/BC)MN，AN=(AC/BC)MN

∴BM=AB-(AB/BC)MN，CN=AC-(AC/BC)MN

∴AB-(AB/BC)MN+AC-(AC/BC)MN=MN

AB+AC=MN+(AB/BC)MN+(AC/BC)MN

4+6=MN+(4/5)MN+(6/5)MN

MN=10/3

3、平行四边形MBPN中：MN=BP

S△AMN+S△CNP=S△ABC-2/5S△ABC=3/5S△ABC

∴S△AMN/S△ABC+S△CNP/S△ABC=3/5

∵S△AMN/S△ABC=(MN/BC)²

S△CNP/S△ABC=(CP/BC)²=[(BC-BP)/BC]²=[(BC-MN)/BC]²

∴(MN/BC)²+[(BC-MN)/BC]²=3/5

MN²/25+(5-MN)²/25=3/5

MN²+25-10MN+MN²=15

2MN²-10MN+10=0

MN²-5MN+5=0

△=25-20=5

∴MN=(5±√5)/2

MN=(5-√5)/2

MN=(5+√5)/2

△

追问

2、易得BM=CN=MN

可以解释一下这步吗，谢

追答

∵I是内心

∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB

即∠MBI=∠BCI，∠NCI=∠BCI

∵MN∥BC

∴∠MIB=∠CBI，∠NIC=∠BCI

∴∠MBI=∠MIB，∠NCI=∠NIC

∴BM=MI，CN=NI

∴MN=MI+NI=BM+CN