Question

数学分析 这个证明错在哪里？

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Answer 1

最后一个等式出错，因为对于任意x，这样的ξ只是存在的，并不是对于任意ξ<x都成立的，把上面的式子用ε-δ语言描述出来就比较清楚，极限的要求是对任意ε>0,∃δ，当|x-x0|<δ时，都要有

|f‘(x)-f’(x0)|<ε，

（1）式子

表达的意思是，对于∀ε>0,∃δ，当|x-x0|<δ时，∃ξ，|ξ-x0|<|x-x0|使

|f‘(ξ)-f’(x0)|<ε，

（2）而式子

表达的意思是，对于∀ε>0，∃δ，当|ξ-x0|<δ时，就有

|f‘(ξ)-f’(x0)|<ε，

这样差别就出来了，（1）说明无论多么小的x，内部总有ξ使|f‘(ξ)-f’(x0)|<ε成立，但是除ξ以外的其他点不清楚，ξ可能是某一特殊的趋向x0的点列，这不能说明f'(x)在x0连续。(2)说明当ξ充分小时，就有|f‘(ξ)-f’(x0)|<ε，也即某个ξ0使|f‘(ξ0)-f’(x0)|<ε成立时，满足|ξ-x0|≤|ξ0-x0|的ξ都要满足|f‘(ξ0)-f’(x0)|<ε，这其实表明f'（x）在x0是连续的。此外，由(2)成立可推(1)成立，即说明该等式在f'(x)连续时是成立的。

为了形象说明，以狄利克雷函数为例，该函数在有理点取值1，无理点取值0，因此不妨取x=1/2这一点来考虑，显然有f（1/2）=1，且对于∀ε>0，∃δ，当|x-1/2|<δ，总存在有理点|ξ-1/2|<|x-1/2|<δ,使|f(ξ)-f(1/2)|=|1-1|=0<ε成立，但是对于无理点ξ‘满足|ξ’-1/2|<|x-1/2|<δ却总有

|f(ξ‘)-f(1/2)|=|0-1|=1，于是狄利克雷函数虽然满足(1)但是不满足(2)，所以狄利克雷函数不是连续的。

这道题反例可举x²sin(1/x)来说明证明错误，x²sin(1/x)的导函数是

0                                    (x=0)

2xsin(1/x)-cos(1/x)        （x≠0）

但是取点列ξ=xn=1/[(n+1/2)π]时，满足(1)式，且无论x多小，总能取得n充分大使0<ξ<x

但是有一个有趣的结论是f’（x）是有界变差函数或单调函数时，f‘(x)一定连续

理由是f’(x)不能有第一类间断点，而单调函数和有界变差函数只有第一类间断点，故此时

f‘(x)无间断点即连续。

Answer 2

拉格朗日定理你看了定义了吗 如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)，不连续怎么求，故错

追问

题目条件是f'(x)不连续，不是f(x)不连续。

Answer 3

最后一个等式相当于已经用了f '(x)的连续性了。

追问

怎么使用了f'(x)的连续性了？能否说得具体一点？

错了吗？