Question

设下面函数的定义域关于原点对称，试证:两个偶函数的和仍为偶函数，两个奇函数仍为奇函数。

Answer 1

假设f(x)和g(x)都是定义域关于原点对称的两个偶函数，令h(x)=f(x)+g(x)
因为f(-x)=f(x),g(-x)=g(x)
所以h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x)，即h(-x)=h(x)，所以：两个偶函数的和仍为偶函数

同理，假设f(x)和g(x)都是定义域关于原点对称的两个奇函数，令h(x)=f(x)+g(x)
因为f(-x)+f(x)=0 g(-x)+g(x)=0
所以h(-x)+h(x)=[f(-x)+g(-x)]+[f(x)+g(x)]=[f(-x)+f(x)]+[g(-x)+g(x)]=0+0=0，即h(-x)=-h(x)
故 两个偶函数的和仍为偶函数，两个奇函数仍为奇函数结果得证。

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