Question

定积分的值既然是定值，那任意定积分的求导的值应该都是零，为什么不同定积分的导数值为不同的定值？谢谢

定积分的值既然是定值，那任意定积分的求导的值应该都是零，为什么不同定积分的导数值为不同的定值？谢谢！求大神！

Answer 1

没有明白你的意思，不同定积分的导数值为不同的定值，可以给一个例子吗？

追问

谢谢

追答

嗯，您说的是变上限函数定积分求导问题，变上限函数也是函数，只不过自变量是积分上线，所以函数值也会不断变化，所以再求导就不一定是0了，希望可以帮到你

追问

谢谢，我的意思是积分上限是常数不是变化的函数，则该定积分的导数值是，积分上限的值代入被积函数的值

可是定积分的最后的值为定值，那么定积分求导也就是该定值求导，而常数的导数都是零

两者难道不是自相矛盾吗？😭

追答

高数书上有积分上限函数导数的推到过程，大概是这样:积分上限函数又称变上限积分，例如∫f(t)dt，其中上限为某一变量x，下限为某一常量a，假定f(t)的原函数为F(t)，则上述变上限积分就等于F(x)-F(a)，该积分显然是x的函数，其中F(a)为常数。现在对变上限积分求导就是对F(x)-F(a)求导，很明显等于f(x)。

更一般的情形，如果积分上限为x的某一函数g(x)，则变上限积分就等于F[g(x)]-F(a)，对其求导就得到f[g(x)]g'(x)。，所以积分上线函数求导并不一定是0

如果我说的不太清楚，欢迎追问

追问

同志，我的意思是积分上下限的值都是定值，那么该积分的导数就是积分上限的值代入被积函数吧？

追答

您好，您说的很正确，您得先找到原函数才可以带积分上下限的，

原函数不唯一，所以再求导也不唯一

追问

为什么？就算原函数不一样，可是定积分的值都是常数，而常数的导数都是零啊？

追答

这个方面您的理解有点偏差，算变上限函数的导数，正常思路是先找到原函数，再带入上下限，原函数很可能是一个表达式，您对这个表达式求导，结果仍然可能是一个表达式，再带入积分上下限所以结果就不一定是0了，您可以任意举一个例子试一试

追问

我知道按照这个算导数不是零，但是不可否认定积分的值是常数，而常数的导数是零……这里错在问题

追答

我觉得是积分上线函数，不是普通的定积分，这个回答可以吗？

追问

例2这个积分的到导数就是¼

可是该定积分的值为7/12 兀………而7/12 兀的导数是零！

😭你明白我意思了吧？

追答

嗯，明白了，普通的积分的导数一定是0

抱歉啊

追问

不对吧！你看例2那道题积分的导数不是1/4吗？！

追答

先求积分再求导确实是0