Question

已知奇函数 f(x)= - x 2 +2x(x＞0) 0，(x=0) x 2 +mx(x＜0)

已知奇函数 f(x)= - x 2 +2x(x＞0) 0，(x=0) x 2 +mx(x＜0) （1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；（2）若函数f（x）在区间[-1，-2]上单调递增，试确定的取值范围．

Answer 1

（1）由于奇函数 f(x)= - x 2 +2x(x＞0) 0，(x=0) x 2 +mx(x＜0) ，设x＜0，则-x＞0， 所以，f（-x）=-（-x） 2 +2（-x）=-x 2 -2x． 又f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）， 于是x＜0时，f（x）=x 2 +2x=x 2 +mx，所以m=2，如图所示： （2）要使f（x）在[-1，a-2]上单调递增， 结合f（x）的图象知 a-2＞-1 a-2≤1 ， 解得1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．